Numerische Mathematik für Informatiker by Franz Locher

By Franz Locher

Dieses Lehrbuch entstand aus der Zielsetzung, f}r Studierende der Informatikmit noch geringen Mathematik-Kenntnissen im zweiten Studienjahr eine in sich geschlossene Vorlesung in Numerik zu gestalten. Dabei waren die Bez}ge zur Informatik (Problem aus der Informatik, Anwendung in der Informatik) deutlich herauszuarbeiten. Die aktuelle Einf}hrung in die Numerische Mathematik wendet sich vor allem an Studierende der Informatik, aber auch der Mathematik und naturwissenschaftlicher und technischer Disziplinen an Universit{ten und Fachhochschulen sowie an Software-Entwickler, insbesondere im Bereich der Computergraphik, undan Informatiklehrer. Ein besonderer Schwerpunkt liegt - der wachsenden Bedeutung angemessen - auf den mathematischen Grundlagen von Graphik-Algorithmen (Splines, Bezier-Techniken, Generierung von Kurven und Fl{chen mit Hilfe von B-Splines). Dieser hochaktuelle Problemkreis (CAD, Animation) ist in dieser Breite und Tiefe in keinem anderen Numerik-Lehrbuch abgehandelt. Breiten Raum nimmt auch die Behandlung Linearer Gleichungssysteme ein, insbesondere die speziellen Techniken zur Behandlung gro~er, schwach besetzter (sparse) Matrizen mit graphentheoretischen Methoden (Speichertechnik, Reduktion von Bandbreite und Profil, Kontrolle des Fill-in durch symbolische Faktorisierung). Ein weiterer Schwerpunkt ist der FFT-Algorithmus als Beispiel eines "schnellen" Algorithmus. Daneben werden auch die "klassischen" Gebiete der Numerik (Fehleranalyse, Polynome und reason Funktionen, Lineare Rekursionen, Interpolation und Quadratur, Approximation und Funktionsroutinen, Least squares, Nichtlineare Gleichungen) in gen}gender Breite (mit Anwendungsbeispielen aus der Informatik) abgehandelt.

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Computergestützte Audio- und Videotechnik: Multimediatechnik in der Anwendung

Dies ist eine leicht verst? ndliche Einf? hrung in die Anwendung der ton- und bildverarbeitenden Computersysteme. Der Leser mit technischem Grundverst? ndnis wird mit dem klar strukturierten Stoff kaum M? he haben. Die vielen technischen guidance helfen jedoch auch erfahrenen Profis weiter. Aus dem Inhalt: - Oversampling - Schneidetechniken - Midi-Befehlsstrukturen - Framegrabber - Genlock - Chromakeying - masking - Animationen

Komplexe Produkte einfach steuern: Das Konzept Fortschrittszahlen

Industrieunternehmen müssen heute ihre Kosten drastisch senken, die Kapitalbindung verringern und die Serienproduktion am Bedarf ausrichten. Besonders schwer fällt dies den Zulieferunternehmen. Wem hierzu die MRP-Philosophie (Material Requirement making plans) für die Planung zu starr oder der KANBAN-Ansatz zu wenig vorausschauend ist, der sollte sich mit dem Fortschrittszahlenkonzept befassen.

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Allerdings kann man solche "pathologischen" Funktionen nur mit Polynomen hohen Grades simulieren. B. exp, sin, cos, log(· +a) mit a > 1. Hier lassen sich die Taylor-Polynome Pn mit kleinen, insbesondere nicht mit n 2 wachsenden Konstanten Cn in der Ungleichung Ip~ (x) I S C nmax IPn (t) I, Itl9 x E [-1, 1] , abschatzen. a. wesentlich geringer als bei den Cebysev-Polynomen ist. Meist wird nur die letzte mitgefUhrte Stelle beeinfluBt. 2 Aufgabe Es sei Pn, Pn(:/:) = n v L;, das n-te Taylor-Polynom cler exp-Funktion.

Urn mit einer rationalen Funktion rechnen zu konnen, benotigt man eine Darstellung von ihr. Dazu kann man jede Polynom-Darstellung heranziehen. =0 = n _ L b"x", ,,=0 man die standardisierte Darstellung m L aJ1. ' Jl = 0, ... ,m, und b", v = 0, ... ,n - 1, abhiingt. Die A uswertung einer rationalen Funktion vom Typ (m, n), die als Quotient von zwei Poly nomen vorliegt, nimmt man dadurch vor, daB man das Ziihler- und Nennerpolynom jeweils mit einem der bekannten Auswertungsalgorithmen fUr Polynome (Horner-Schema, Clenshaw-Algorithmus) auswertet.

N. Dabei bezeichnet Cj den Additions- und 'T]i den Multiplikationsfehler im i-ten Schritt des Horner-Algorithmus. 6 Numerische Stabilitat von arithmetischen Ausdriicken 49 also co := 0 =: 1)0, folgt durch sukzessives Einsetzen = I>n_. =0 n n j=' j=i+1 II(1 + ej) II (1 + 1)j) . xn -. Setzt man die im Horner-Algorithmus verwendete Beziehung . so f 0 Igt em, ml't a~l) (I) 0 an+I:= = t {a~l2. +lx} x n - i IT(1 + ej) j=' IT (1 + 1)j) . } x +a~I)(l + en) - n- i jll (1 + ej) JLL (1 + 1)j)] a~l) . h.

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