Methode der finiten Elemente für Ingenieure: Eine Einführung by Michael Jung, Ulrich Langer

By Michael Jung, Ulrich Langer

Dieses Lehrbuch ist als Einführung in die numerische Lösung partieller Differentialgleichungen mittels der Finite-Elemente-Methode (FEM) und in das dazu notwendige Handwerkszeug aus der numerischen linearen Algebra konzipiert. Für verschiedene physikalisch-technische Probleme wie Wärmeleitprobleme sowie Probleme aus der Festkörpermechanik und der Elektrotechnik wird deren Modellierung mittels partieller Differentialgleichungen diskutiert. Die Grundideen der FEM, der wohl am häufigsten genutzten Rechenmethode für diese Modelle, und Lösungstechniken für die bei der FEM-Diskretisierung entstehenden (nicht)linearen Gleichungssysteme bzw. Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen werden anwendungsorientiert vermittelt.

Die zweite Auflage dieses Buches stellt auch eine gründliche Überarbeitung und Erweiterung der ersten Auflage dar.

Im Kapitel 1 wurde vor allem den Abschnitt 1.3 überarbeitet. Die Beschreibung von elektrischen und magnetischen Feldern sowie entsprechende Rechenbeispiele werden jetzt in einem Unterabschnitt zusammengeführt und aus den vollen Maxwellschen Gleichungen hergeleitet. Neu im Kapitel 2 ist neben der Modellierung typischer stationärer und instationärer Wärmeleitprobleme die mathematische Modellierung charakteristischer Probleme aus der linearen Elastostatik und Elastodynamik.

Das Kapitel four zur FEM für mehrdimensionale Randwertprobleme wurde wesentlich überarbeitet und erweitert.

Der Beschreibung von direkten und iterativen Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme im Kapitel five ist jetzt ein Abschnitt vorangestellt, in welchem Grundbegriffe aus der linearen Algebra zusammengestellt sind, die später bei der Diskussion der Eigenschaften der Lösungsverfahren benötigt werden. Außerdem werden Eigenschaften der FE-Gleichungssysteme diskutiert.

Der Abschnitt zu den direkten Lösungsverfahren wurde wesentlich erweitert. Neu in diesem Kapitel ist auch die Beschreibung von Profilminimierungsalgorithmen wie des Cuthill-McKee-Algorithmus und des Minimalgrad-Algorithmus. Bezüglich der iterativen Lösung linearer Gleichungssysteme wurden im Abschnitt 5.3.4 eine Motivation für die Idee von Mehrgitterverfahren hinzugefügt.

Neu sind auch die Abschnitte 8.2.5 und 8.3. Im Abschnitt 8.2.5 werden praktische Hinweise zu einfachen Zeitschrittsteuerungen, die auf Schätzungen des lokalen Fehlers beruhen, gegeben.

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Die Ränder Γe1r , Γe1z , Γe2r und Γe2z sind durch Γe1r = {(r, z) ∈ ∂ Ω : r = 0}, Γe2r = ∂ Ω \ Γe1r = Γe21r ∪ Γe22r , Γe21r = {(r, z) ∈ ∂ Ω : z = 0}, Γe1z = {(r, z) ∈ ∂ Ω : z = 0}, Γe2z ∂ Ω \ Γe1z = Γe21z ∪ Γe22z , Γe21z = {(r, z) ∈ ∂ Ω : r = 0} = gegeben. Weiterhin gilt ge2r = 0 auf Γe21r und ge2z = 0 auf Γe21z . Auf den Teilrändern Γe22r und Γe22z sind die Funktionen ge2r sowie ge2z durch den Gasdruck vorgegeben. 12 sind Niveaulinien des Temperaturfeldes sowie die Kontur der Meridianebene des Kolbens und ihre Deformation dargestellt.

Auf diesem äußeren Rand wird das elektrische Potential als identisch Null angenommen. In unserem Beispiel ist ρ = 0 . Auf Γ11 , dem Rand des Gebietes , ist ein Potential g11 vorgegeben, und auf dem Rand der Abschirmplatten sowie dem äußeren Gebietsrand ist das Potential identisch Null. Gesucht wird das elektrische Potential im Gebiet Ω ( ). Somit ist die folgende Randwertaufgabe zu lösen: Gesucht ist das elektrische Potential ϕ(x1 , x2 ), so dass gilt. 7 zeigt den Verlauf von Äquipotentiallinien des berechneten elektrischen Potentials.

Die Funktionenmenge C2,1 (QT ) umfasst alle Funktionen, die zweimal stetig differenzierbar bezüglich des Ortes x ∈ (a, b) und einmal stetig differenzierbar bezüglich der Zeit t ∈ (0, T ) sind. 11). Zu C(QT ) = C0,0 (QT ) gehören alle Funktionen die stetig bezüglich des Ortes x ∈ [a, b] und stetig bezüglich der Zeit t ∈ [0, T ] sind. 11) ist eine typische Vertreterin aus der Klasse der parabolischen Differentialgleichungen zweiter Ordnung. 3 Analog zur stationären Wärmeleitgleichung können auch bei der instationären Wärmeleitgleichung Randbegingungen 2.

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