Mathematische Unterhaltungen und Spiele mit dem by Hans Heinrich Gloistehn

By Hans Heinrich Gloistehn

Vor etwa fUnf Jahren erschienen die ersten programmierbaren Taschenrechner auf dem deutschen Markt. Sie waren hauptsachlich zur DurchfUhrung lang wieriger numerischer Berechnungen gedacht. Aber schon bald zeigte sich der Spieltrieb im Menschen. Mit den kleinen "Computern" konnte guy allerlei unnutze Mathematik und Spielereien treiben, die - jedenfalls auf den ersten Blick - keinerlei Bedeutung im Sinne einer praktischen Anwendung besa en. Nur weil es Spa machte, spielten die Benutzer mitihren Rechnern. Das vorliegende Buch gibt eine Auswahl mathematischer Spielereien, die sich intestine fUr einen programmierbaren Taschenrechner eignen. Es wendet sich nicht an den Fachmann, sondern an den interessierten Laien, fUr den Mathematik vor allen Dingen ein pastime ist. Die Grundbegriffe des Programmierens werden beim Leser vorausgesetzt. Wer auf diesem Gebiet noch Schwierigkeiten be sitzen sollte, moge im TI-Handbuch oder in einem der im Literaturverzeichnis aufgefUhrten LehrbUcher nachlesen. Wer sich aber bereits ausfUhrlich mit dem Programmieren von Spielen beschaftigt hat, der wird in diesem Buch wenig Neues und Interessantes finden. FUr ihn wurde dieses Buch nicht geschrieben.

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Qk-1 + rk rk-1 =rk·qk mit qk-1 E IN und 0 < rk < rk-1 mit qkEIN Da die naturlichen Zahlen roo r,. r2 •... eine (streng) monoton abnehmende Foige bilden. bricht der Algorithmus nach endlich vielen Schritten ab und liefert mit der letzten Zahl rk- fur die rk-1 ohne Rest durch rk teilbar ist. den groBten gemeinsamen Teiler von n und m. Dieses folgt sofort aus rk = ggT(rk-b rk) = ggT(rk-2. rk-1) = ... = ggT(ro. r1) . 1st nun insbesondere ggT (n. m) = 1. so sind die naturlichen Zahlen n und m teilerfremd.

Bis 10. Schuljahrl zuruckerinnern, in der sie ebenfalls ,,Probleme aus dem tiiglichen Leben" zu 16sen hatten. Aufgabe 1: Herr Fuchs, I nhaber einer Tierhandlung, ist in seinen MuBestunden Hobbymathematiker. Hierunter haben neben seiner Ehefrau auch seine Angestellten zu leiden, denn die Anordnungen ihres Chefs sind fur sie oft unverstandlich (eben mathematischl formuliert. So erhalt heute ein Schuler, der spater Biologie studieren will und in der Tierhandlung Aushilfsdienste leistet, den folgenden Auf trag von Herrn Fuchs: "Unser Mausevorrat ist nur noch sehr klein.

In diesem Fall existiert keine L6sung. Wir erkennen hieraus, da~ eine notwendige Bedingung fur das Vorhandensein einer L6sung lautet: Der gr6~te gemeinsame Teiler von a und b ist auch Teiler von c, kurz: ggT (a, b) I c . Man kann zeigen, da~ diese Bedingung auch hinreichend ist und dann unendlich viele L6sungen existieren. ~, Y=Yo-t·~ mit g=ggT(a,b) und tE 2:. In der Mathematik wird eine Grundl6sung (x o ' Yo) im allgemeinen mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus (s. z. B. 2) bestimmt. Das oben fur den TI-57 angegebene Programm ist naturlich nicht sehr komfortabel und ben6tigt unter Umstanden sehr lange Rechenzeiten.

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