Mathematische Methoden der Physik II: Geometrie und Algebra by Siegfried Flügge

By Siegfried Flügge

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Ay au sln~ ~ au. = - p ax sln~ au + p ay cos~ (1 ) so daB wir unmittelbar au gra dpu -- ap grad~u = 1 au au grad z u - az p~ (2) erha Hen. Urn div y zu berechnen brauchen wir die Umkehrung von (1), also au au ax = ap {;oS~ 1 au - p~ . au ay Sln~ au. = ap Sln~ + 1 au p~ cos~ (1' ) und die AusdrUcke (3a) von §5, (3) Daher wird a) (v cos~ ( cos~ -apa - s ipnrp -a~ p v ~ sin~) Ausdifferenzieren fUhrt auf lav~ av z div v- = (,ap l... (2) dann insbesondere = v2u (4) = 2 ~ + ap2 2 .!. l ~ p ap p2 a~2 2 (5 ) + a u ;;Z Das gleiche Rechenschema ergibt zunachst fUr die kartesischen Komponenten von rot v mit Hilfe von (1') und (3) a cos~ rot x y = (.

Das doppelte Vorzeichen, das auf (3a) zurUckgeht, kann entschieden werden, wenn wir rUckwarts in (4) T' und Til nach (1) durch Al und A3 ausdrUcken. Dann entsteht nach einfacher Rechnung 1 [(2AI 3 + 2IAI2A3 + 6AI A3 2 - 2A 3 ) det r = 27 3 - (2AI3 - 6AI2A3 + 6AI A3 2 - 2A 3] + 3) und dies wird nur fUr das obere Vorzeichen gleich A~A3' es sei denn, daB auch noch A3 = AI' daB das Tensorellipsoid also eine Kugel ist. 20. Aufgabe (zu §6e). Welcher Tensor r ergibt in Anwendung auf jeden Vektor (a) r ~ = y div ~ ; (b) r ~ = (~.

H. die AIlV bilden einen Tensor A. In §5 haben wir fUr = das Beispiel der Kugelkoordinaten gezeigt, wie Vektorkomponenten von kartesischen auf diese Koordinaten umzurechnen sind. Die Beziehung (26) laBt sich benutzen, urn eine solche Umrechnung auf Tensorkomponenten zu Ubertragen. Direkte Produkte von mehr als zwei Vektoren bilden Tensoren hoherer Stufe, etwa TAIlV = abc AIl v usw. Der systematische Aufbau solcher Zusammenhange eben so wie der Obergang zu beliebigen Koordinatensystemen wird im folgenden Kapitel II dieses Bandes eingehend studiert werden.

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