Mathematik für Physiker und Ingenieure 2: Basiswissen für by Klaus Weltner

By Klaus Weltner

Das zweibändige Werk bietet eine Einführung in die Mathematik für Physiker. Band 2 begleitet das zweite Semester Physik im Bachelor-Studium. Das bewährte Lehrbuch beinhaltet über das Druckwerk hinaus eine interaktive Lernsoftware sowie 1.460 interaktive Lehr- und Übungsschritte. Das umfangreiche Lern- und Leitprogramm wurde für die Neuauflage komplett neu erstellt und ist im web verfügbar.

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Unserem Beispiel können wir weiterhin entnehmen, daß der Gradient in die Richtung der stärksten Änderung von cp zeigt. Der Betrag von grad cp lgrad cpl = -2 ;4 ( x, y, z) ist =2 3rA Dies ist ein Maß dafür, wie stark sich die Funktionswerte in radialer Richtung ändern. Je näher wir dem Koordinatenursprung kommen (r -+ 0), um so stärker ändern sich cp und grad cp . Anhand unseres Beispiels haben wir damit folgende Eigenschaften des Gradienten verifiziert: • Der Gradient einer Funktion cp ( x, y, z) ist ein Vektor: grad cp 6cp 6cp 6cp) 6y' 6z = ( 6x' • Der Gradient steht senkrecht auf den Niveauflächen cp = const.

Als Beispiel für eine Funktionzweier Variablen betrachtet. Sie stellt eine Fläche im dreidimensionalen Raum dar . Setzen wir eine der Variablen konstant, erhalten wir eine Schnittkurve der Funktion mit einer Ebene. Zwei Typen von Schnittkurven der Fläche mit Schnittebenen kennen wir bereits: Schnittkurven mit Ebenen parallel zur x-z-Ebene: Die Schnittebene habe den Abstand Yo von der x-z-Ebene. Die Gleichung der Schnittkurve erhalten wir, indem wir in die Funktionsgleichung den Abstand Yo einsetzen.

Es gibt jedoch auch Fälle, die entweder auf sehr komplizierte Ausdrücke führen oder überhaupt nicht lösbar sind. Dann kann das Mehrfachintegral näherungsweise über Summenbildungen berechnet werden. Die Summen können durch hinreichend feine Einteilung genügend genau gemacht werden . Für den praktisch arbeitenden Mathematiker und seine Hilfskräfte war früher die Ausrechnung derartiger Summen ein gefürchtetes Übel - solange nämlich derartige Summen mit Papier und Bleistift berechnet werden mußten.

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