Kanalcodierung: Theorie und Praxis fehlerkorrigierender by Herbert Schneider-Obermann (auth.), Otto Mildenberger (eds.)

By Herbert Schneider-Obermann (auth.), Otto Mildenberger (eds.)

Prof. Dr.-Ing. Herbert Schneider-Obermann lehrt Nachrichten- und Informationstechnik mit dem Schwerpunkt Kanalcodierung an der FH Wiesbaden

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GI. 3) vorgetäuscht. War in diesem Fall z. B. das gesendete Codewort Cl5 = (1,1,1,1,1,1,1,1), so wird ein Vektor r = (0,0,0,1,1,1,1,1) empfangen und fälschlicherweise das Codewort Cl = (0,0,0,1,0,1,1,1) decodiert. Das Korrekturverfahren erhöht im Falle seines Vers agens die Anzahl der Fehler im Codewort. 1 dienen. Der Code besitzt eine Codewortlänge n = 8, die Anzahl k = 4 der Informationsstellen und die Anzahl der hinzugefügten Redundanzen m = 4. Die Mindestdistanz 2 d = 4 dieses Codes ist gleich dem Mindestgewicht des Codes, da sich alle Codewörter untereinander um mindestens 4 Stellen unterschieden.

Q; ist damit eine ZYKLISCHE GRUPPE DER ORDNUNG m, in der das Rechnen vollständig durch gm = 1 festgelegt ist: wenn wenn wenn + 1< m k + 1= m k + 1> m k o ~ k, 1 ~ m - 1. 8 kann jedem Element einer endlichen Gruppe eine Ordnung zugewiesen werden. Als ORDNUNG EINES ELEMENTES z bezeichnet man die Anzahl der verschiedenen Elemente, die als Potenzen zi dargestellt werden können. 9 ([1 sei eine Gruppe mit der binären Verknüpfung o. Eine nichtleere Teilmenge V von ([1 heißt UNTERGRUPPE von ([1, wenn V selbst eine Gruppe bezüglich 0 bildet.

9) so erhalten wir: a + b+ c = (ql + q2) . m + r2. 10) Dies bedeutet, daß r2 der Rest der Division von a + b + c durch m ist. 7) eindeutig bestimmt ist, also gilt: r = r2. Gleichzeitig ist damit bewiesen, daß ebenso gilt: (a E9 b) E9 c = r. 1 Gruppen 37 Ganz analog läßt sich auch zeigen, daß gilt: a$ (b$e) = r. Die modulo-m Addition $ ist demzufolge assoziativ und (c = {O, 1,2, ... , m - I} bildet mit dieser binären Verknüpfung eine additive2 Gruppe. 5 haben wir bereits die modulo-2 Addition als Spezialfall der modulo- m Addition kennengelernt.

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