Höhere Mathematik: Differentialgleichungen, by Professor Dr. Kurt Meyberg, Dr. Peter Vachenauer (auth.)

By Professor Dr. Kurt Meyberg, Dr. Peter Vachenauer (auth.)

Dieses Lehrbuch hat sich zum Standardwerk in der Ausbildung von Ingenieuren, Naturwissenschaftlern und Informatikern entwickelt. Hervorgegangen aus langjähriger Lehrtätigkeit der Autoren an der Technischen Universität in München, bietet es Studenten technischer Disziplinen eine gründliche Einführung in alle relevanten Themen. Es stellt konkrete und studentenfreundliche Rechenschemata zur Verfügung, die hervorragend zur Prüfungsvorbereitung geeignet sind. excellent geeignet als Vorlesungsbegleiter, Repetitorium für Prüfungen und Nachschlagewerk in der Praxis.

"... Eine charakteristische Besonderheit dieses Lehrbuches sind die zahlreichen und äußerst vielseitigen Anwendungsbeispiele aus Physik, Chemie, Biologie und vor allem der Mechanik und Elektrotechnik, mit denen die eingeführten Begriffe und hergeleiteten Formeln regelmäßig illustriert werden..." (GAMM Mittgn.)

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U X, y =0. fur x ::f 0. c2 ist Euler-Multiplikator für x X ::f 0. ist exakte DGL mit der allgemeinen impliziten c E IR (-+ Abb. 30). D y X Abb. 30 - y + x(2xy - I)y' Beispiel 3. (x 2 l =0 + y) + (x 3 i- x)y' =0. i 1. Schritt: Ay - Bx = 3ix 2 + 1 - 3x 2 + 1 = 2 ::f 0. 2. Schritt: Z. B. liefert u(x, y) = x keinen Euler-Multiplikator, da 2 keine Funktion von u =x ist. k. yB-xA 3. Schritt: m(u)=e-f frdu 4. Schritt: ( x i + =~ y) 1) + ( x y - Lösung x 2 2 i 2 +In x 2 y ==} y' =c, =0 M(x,y)= }y, xy ::f 0.

X c) Man bestimme die allgemeine Lösung von (iii) in der Form t + c2 = F(r, c1 ) • d) Man zeige: Im Fall der elliptischen Bewegung ergibt sich für den Winkel 1/J der Parametrisierung x = a cos 1/J, y = b sin 1/J (--+ Kap. 7, §3, Aufg. 9, Kap. 5) 1/J (Hilfe: r = a(l - E E sin 1/J = :b t. cos 1/J), (1 - E (Keplergleichung) cos 1/J)rp = ~-if,, r 2 rp = K integrieren) § 4. Existenzsätze Im folgenden befassen wir uns mit den bereits in § 1 erwähnten Fragen nach Existenz, Eindeutigkeit und stetiger Abhängigkeit von den gegebenen Daten einer DGL erster Ordnung.

Multipliziert man den "lästigen" Nenner weg, so entsteht eine DGL, die für alle (x, y) E IR? erklärt, aber nicht exakt ist: I y- xy 1 =0. D Euler-Multiplikator für y -::j: 0 ist daher M(x, y) = 2 . 2 genau dann ein Euler-Multiplikator von (20), wenn a (22) für alle (x, y) (23) ay (M(x, y)A(x, y)) E = axa (M(x, y)B(x, y)) G gilt. Das ist eine partielle DGL für M(x, y) BMx - AMy =(Ay - Bx)M . Sonderfall: M(x, y) entsteht aus einer Funktion m(u) einer reellen Variablen u durch die Substitution u = u(x, y) - etwa u = x , u = x + y , u = x 2y oder ähnlich.

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