Differential- und Integralrechnung I: Funktionen einer by Professor Dr. Hans Grauert, Professor Dr. Ingo Lieb (auth.)

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Ut(xo) ist gerade das offene Intervall der Lange 2e mit Xo als Mittelpunkt. ,(xo) und U•• (xo) zwei 8-Umgebungen desselben Punktes Xo. Wir konnen die Numerierung so wahlen, daB min (81, 82) = 81 ist. ,(xo) = Umin(",'z>(xo). Der Durchschnitt von zwei 8-Umgebungen ist also wieder eine 8-Umgebung. 2. Eine Menge U c lR heifJt Umgebung des Punktes ER, in Zeichen: U = U(xo), u'enn es eine in U enthaltene 8-Umgebung von Xo gibt. Jede 8-Umgebung von Xo ist eine Umgebung von xo, ganz gleich, wie klein 8> 0 gewahlt wurde; aber auch lR ist eine Umgebung von Xo (Umgebungen brauchen nicht "klein" zu sein.

H. Xo ~ M. Wenn aber x> Xo ist, so wird jede Zahl x' mit x> x' > Xo von hOchstens endlich vielen Elementen der Folge uberlroffen, liegt also in M. Daher ist x keine untere Schranke von M. Damit haben wir gezeigt, daB Xo die groBte untere Schranke von M = {x E lR: x < a, hochstens endlich oft} ist, also die Gleichung Xo = limsupa, bewiesen. 7. 1st d€r limes superior einer Folge (a,) eine reelle Zahl xo, so ist Xo der gro{Jte Hiiufungspunkt der Folge. Beweis. Fur unendlich viele 'J1 gilt die Ungleichung Xo - e < a" aber nur fUr endlich viele die Beziehung Xo + e ~ a,; unendlich viele a, liegen also in Ue(xo), ganz gleich, wie klein e> 0 gewiihlt wurde.

H. Xl = X2 = lim a, • ...... 00 Teil b des Beweises (nicht aber Teil a) beruht wesentlich auf dem Vollstandigkeitsaxiom; man stellt in der Tat leicht fest, daB im Bereich der rationalen Zahlen das Cauchysche Kriterium nicht fiir die Konvergenz hinreicht. 0. Es sei Xo ein Hiiufungspunkt der Punktfolge (a,) mit lR. Dann gibt es eine gegen Xo konvergente Teilfolge von (a,). E Beweis. Es sei e, = 1/'J1, V, = U•• (xo). Dann ist offenbar Vl:J V2:J V3:J''':J V,:J V,+1:J .. •• In Vl liegt, da Xo Haufungspunkt von (a,) ist, ein Punkt a.

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