Arithmetik Abelscher Varietäten mit komplexer Multiplikation by Claus-Günther Schmidt (auth.)

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H. 12: (K,H) sogar i st primitiy genau dann , wenn (K,H) = (K",H") . Stets ist CM-Typ (Ko,Ho) (Ko,H o) K = K" ist, und dann gilt K" < K , und f~r einen vorgegebgnen primitiven ist die Gesamtheit aller CM-Type n gegeben durch die endlichen Erweiterungen (K,H) K/K mit Bidual (K",H") = mit o H = ~ E Iso(K,E) ," o IK E Ho } 0 K" Beweis. E G ist der Fixk~rper von IK = id. und Dann ist W . Dies erkl~rt das Primitivit~tskriterium. So -I = S , also -I E W und damit Sei ~ E W . Dies zeigt G(L/K) < W = G(L/K") also K" < K .

Unter einem Halbsystem G I. I mit einer festen H (bzgl. O ) ver- modulo < p >. Jedes in dem Gruppenring 40 Analog zu Def. I. 7 definieren wir den Rang yon H durch rg(H) := rgzz(R-s(H)) und nennen H Halbsysteme vom Vollrang, falls s(H) in R gilt. i: F~r jedes beliebige Halbsystem H ist O U(Ao) = (l-p)R + ~. s(H o) - - , und es gilt rg~(U(Ao)) = g+l , was insbesondere die Vollrangdefinition rechtfertigt. Ein Halbsystem H , d e s s e n Fixgruppe W = { a E G ; oH = H} primitiv. Mit Hilfe der komplexwertigen Charaktere X E X := Hom(G,G x) wir das folgende Primitivitgts- bzw.

Einerseits ist H Nk/K,(Z ) ~6H' (vgl. hierzu Bemerk. ). h (z)-l-x)) z 6 Ik , x 6 L . b i : 37 ~'(~'(x))[z'k] = ( .... ) = ( .... m(~(~(z)'h(z)-l-xi )) .... ) • W~hlen wir wi 6 K mit ~. 1 = ~(z)'h(z)-l'x. x)) und somit ~ = ~' . 4: (Ko,H o) , Sei nun, wieder @ angewandt auf die Basisvariet~t @ als GrSssencharakter als GrSssencharakter ~ ein GrSssencharakter ein primitiver CM-Typ, (AI,@I) von hat. Eine Ubersicht @ , dass ~ber alle CM- gibt yon k vom TYP A o und und der Unendlichtyp von K ° ~ k . Sei ferner @ se__ii u(@) = - Z ~ 6 Z Z - I s o ( k , ~ ) o wobei o alle Isomorphismen Dann s i n d f[ir e i n e iiber valent k k definierte (A,O) N 6 IN ist gilt CM-Varietgt durchl~uft.

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