Analysis für Physiker und Ingenieure: Funktionentheorie, by Klaus Jänich

By Klaus Jänich

Aus den Besprechungen: "Dies ist ein Lehrbuch, wie ich es mir als pupil gewünscht hätte: Nahezu jeder Begriff wird vor seiner Einführung ausführlich motiviert, guy findet eine Unmenge (461 Stück!) von hervorragenden Figuren, jedes Kapitel enthält sowohl eine Einleitung, in der skizziert wird, 'wohin der Hase laufen soll', als auch eine Rückschau mit den wichtigsten Ergebnissen. guy findet reichlich Übungen (mit Lösungshinweisen) sowie a number of selection exams (mit Lösungen) am Ende eines jeden Kapitels. Der Stil ist locker und unterhaltsam und unterscheidet sich wohltuend von den üblichen trockenen Mathematik-Lehrbüchern.
Ein hervorragendes Lehrbuch, dessen Lektüre nicht nur für Physiker und Ingenieure nützlich, sondern auch für Mathematikstudenten eine willkommene Ergänzung zum 'täglichen Brot' sein dürfte".
Zentralblatt für Mathematik

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0 Für die komplex differenzierbaren Funktionen sind unterschiedliche Benennungen im Gebrauch. In der neueren mathematischen Literatur setzt sich mehr und mehr das Wort "holomorph" durch. In der mathematisch-physikalischen Literatur wird überwiegend die etwas ältere Bezeichnung "analytisch" verwendet, dieser Terminologie schließen wir uns hier an. Zuweilen findet man auch noch die Sprechweise "regulär", die uns denn doch ein bißchen zu sehr veraltet vorkommt, obwohl sie auch etwas für sich hat, besonders wenn man analytische Funktionen mit isolierten Singularitäten betrachtet (z.

V, § 1), lokal "in eine Potenzreihe entwickeln", d. h. lokal als Potenzreihe darstellen, und hieraus gewinnt man allgemeingültige Aussagen, zunächst theoretischer Art, über die Eigenschaften analytischer Funktionen, die dann mittelbar wieder praktische Konsequenzen haben. Darüber hinaus sind aber die Potenzreihen ein flexibles Instrument zur Herstellung von Funktionen mit gewissen Eigenschaften. Man macht dazu einen "Potenzreihenansatz", d. h. überlegt, welche Bedingungen die Koeffizienten a0 , a 1 , a 2 , ••• erfüllen müssen, um eine Funktion der gewünschten Art hervorzubringen, und oft genug ist die Suche nach solchen Koeffizienten viel einfacher als das Problem in seiner ursprünglichen Form.

Woher wissen wir denn überhaupt, daß die Umkehrabbildung total differenzierbar ist, also ein Differential besitzt? Diese Besorgnis ist doch wohl nicht zu weit hergeholt, aus der Infinitesimalrechnung kennt man ja Beispiele von bijektiven differenzierbaren Funktionen, deren Umkehrung nicht differenzierbar ist (Figur 54). Nun, in einer reellen Variablen schützt uns die Voraussetzung/' (x) 0 vor dieser Gefahr, und haben wir nicht, analog dazu, in zwei reellen Variablen den Satz von der inversen Abbildung, dieses Kernstück der Differentialrechnung in mehreren Variablen, zur Verfügung?

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